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駐點不一定是極值點,如z=xy,(0,0)是駐點,但不是極值點。
極值點也不一定是駐點,如z=√(x^2+y^2),(0,0)不是駐點,但是極值點。
駐點滿足一定條件時,才是極值點,有一個充分條件定理。
駐點的定義:一階導數為0的點,就是駐點。所以求駐點,就是求一階導數為0的點。至於不可導點,當然就不可能是駐點了。
極值點的定義:在某點的一個鄰域內,該點的函數值是最大值或最小值,則該點是個極大值點或極小值點。極值點可能是一階導數為0的點,也可能是一階導數不存在的點。所以求極值點的時候,找出所有一階導數為0的點和不可導點。對這些點進行進一步的分析。注意一點,一階導數為0或一階導數不存在隻是極值點的一個必要條件。而不是充分條件。所以不能隻求出一階導數為0或不可導點,就不再進一步分析,直接認定這些點是極值點。
拐點,是函數凹凸變化的分界點。拐點可能是二階導數為0或二階導數不存在(含一階導數不存在而導致二階導數不存在的情況)的點。求出所有二階導數為0或不存在點,再進一步分析。
f'x=(6-2x)(4y-y^2)=0,得x=3,或y=0,4
f'y=(6x-x^2)(4-2y)=0,得x=0,6,或y=2
得駐點(3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4)
A=f"xx=-2(4y-y^2)
B=f"xy=(6-2x)(4-2y)=4(3-x)(2-y)
C=f"yy=-2(6x-x^2)
在(3,2),A=-8,B=0,C=-18,B^2-AC=-144<0,此為極大值點,極大值為f(3,2)=36;
在(0,0),A=0,B=24,C=0,B^2-AC=24^2>0,不是極值點;
在(0,4),A=0,B=-24,C=0,B^2-AC=24^2>0,不是極值點;
在(6,0),A=0,B=-24,C=0,B^2-AC=24^2>0,不是極值點;
在(6,4),A=0,B=24,C=0,B^2-AC=24^2>0,不是極值點。
相關如下:
設函數z=f(x,y)在點P0(x,,y0)的某鄰域內有定義,對這個鄰域中的點P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函數f在P0點處的增量△z可表示為:
△z=f(x0+△x+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(,其中A,B是僅與P0有關的常數,〔(△x)^2+(△y)^2〕^0.5.o(是較똩無窮小量,即當𖨦𖦘ﯨ/𖨦稱f在P0點可微。
可微性的幾何意義。
可微的充要條件是曲麵z=f(x,y)在點P(x0,y0,f(x0,y0))存在不平行於z軸的切平麵充要條件是函數f在點P0(x0,y0)可微。
這個切麵的方程應為Z-z=A(X-x0)+B(Y-y0)。
A,B的意義如定義所示。
本文到此結束,希望對大家有所幫助呢。
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